高校入試への数学(4)　平方根の小数部分

時習館の森山の
高校入試への数学
～第４講　平方根の小数部分～
【問題】 （難易度★★☆☆☆）
\sqrt{7} +2 の整数部分を a、小数部分を b とするとき、
a^2+ab+b^2 の値を求めなさい。
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Clipboard01【ズバリPoint！】
平方根の小数部分の求め方
ポイント１：整数を平方根の形にして、与えられた平方根との大小関係から、整数部分を考える。
ポイント２：平方根の小数部分　＝　平方根－整数部分
因数分解の応用
ポイント：a^2+ab+b^2 ＝ (a^2+2ab+b^2)-ab ＝ (a+b)^2-ab
上記の式変形は高校数学ではよく出てくるので覚えておくと便利！
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【解答と解説】
1=\sqrt{1}、　2=\sqrt{4}、　 3=\sqrt{9} なので、
\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9} となる。
ゆえに 2<\sqrt{7}<3 なので、
\sqrt{7} は、2.・・・ という数字になり、整数部分は 2 となる。
よって、\sqrt{7}+2 の整数部分を a=4 となり、
\sqrt{7}+2=4+b と表すことができる。
ゆえに、\sqrt{7}=4+b-2=2+b なので、b=\sqrt{7}-2 となる。
以上より整数部分 a=2、小数部分 b=\sqrt{7}-2 となる。
ここで、a+b ＝　4+\sqrt{7}-2 ＝ 2+\sqrt{7} となる。
また、a\times b ＝ 4\times \sqrt{7}-2 ＝ 4\sqrt{7}-8である。
a^2+ab+b^2 ＝ (a^2+2ab+b^2)-ab ＝ (a+b)^2-ab なので、代入して計算する。
(2+\sqrt{7})^2-(4\sqrt{7}-8) ＝ 4+4\sqrt{7}+7-4\sqrt{7}+8 ＝ 19