入試問題に挑戦！ 平成27年　神奈川県　(超難)

平成27年度　神奈川県立高校入試　数学
（ア）（イ）もなかなか難しいのですが、特に（ウ）は難関私立高入試レベルです。
入試本番であれば、（ウ）は捨てて、他の問題を考えたり、他の問題の見直しをする方がいいかもしれませんね！
では頑張って解いてみてください！
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解説解答はコチラ
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問６　（空間図形）
(ア)
A,B は円の直径なので、AO=3(cm)
円すいの高さ CO は、CO^2=10^2-3^2 となり、CO=\sqrt{91}(cm)
よって、円すいの体積は、3\times 3 \times \pi \times \sqrt{91} \times \frac{1}{3}=3\sqrt{91} \pi(cm^3)
(イ)
２点 A,D を含む平面 ABC で考える。
点 D から下ろした垂線と線分 AB の交点を点 E とすると、
中点連結定理より、DE=\frac{\sqrt{91}}{2}cm、BE=EO= \frac{3}{2}(cm) となる。
三平方の定理より、AD^2=(\frac{\sqrt{91}}{2})^2+(3+\frac{3}{2})^2=\sqrt{43}(cm)
(ウ)
表面上の最短距離なので、円すいの側面で考える。
側面のおうぎ形の中心角は、360 \times \frac{3}{10}=108
最短距離より、図１の AA’ が求めたい線になる。
△ACA’ はおうぎ形の半径から，頂角 108°、底角 36°の二等辺三角形。
∠ACA’を 36°と 72°になるように分割した線と AA’の交点を F とすると、図 2 のようになる。
求めたい AA’を xcm とすると AF＝(x－10)cm となる。
△ACA’∽△AFC より、 10：x＝(x－10)：10、 ゆえに、x=5\pm5\sqrt{5}となり、
x＞0 より、x=5+5\sqrt{5}(cm)