高校入試への数学(1)　一次関数①　対称な点

時習館の森山の
高校入試への数学
～第１講　一次関数①　対称な点～
【問題】 （難易度★★☆☆☆）
直線 y=2x+1 に関して、点 A (6,8) と対称な点 B の座標を求めなさい。
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Clipboard01【ズバリPoint！】
直線 y=ax+b に関して、点 A と点 B が対称な位置にある場合
　→　① 直線 y=ax+b と直線 AB は直交する
　→　② 直線 y=ax+b と直交する直線の傾きは -\frac{1}{a} になる
　→　③ 直線 y=ax+b は直線 AB の中点を通る
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【解答と解説】
求める点 B の座標を (p,q) とすると、
直線 AB はy=2x+1と直交するので、
直線 AB の傾きは = \frac{8-q}{6-p} = - \frac{1}{2} になればよい。
この式を整理して、p+2q=22　･･･　ア
また、直線 AB nの中点 M の座標は、=\frac{p+6}{2},\frac{q+8}{2} になる。
この中点 M は、直線 y=2x+1 のうえにあるので、代入すると、
\frac{q+8}{2}=2\times \frac{p+6}{2}+1となる。
この式を整理して、2p-q=-6　･･･　イ
アとイより連立方程式を解くと、p=2, q=10となる。
答え　(2, 10)