高校入試への数学(3)　一次関数③　比と中点

時習館の森山の

高校入試への数学

～第３講　一次関数③　比と中点～

【問題】（難易度★★☆☆☆）

右の図のように、直線 $l$ 上に異なる４点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ があり、 $AB:BC=5:3$ 、 $AB:BD=1:2$ が成り立っている。点 $C$ の座標が $(3$ , $\frac{21}{5})$ であるとき、それぞれ以下の問題に答えよ。ただし、原点を $O$ とする。

(1)　点 $A$ の座標を求めなさい。

(2)　点 $B$ を通り、△ $OAB$ の面積を二等分する直線の式を求めなさい。

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【ズバリPoint！】

連比の求め方（二つの比を一つにまとめる）

ポイント： $AB$ の値を最小公倍数で同じ数にそろえる。

例題： $AB:BC=3:5$ …①　 $AB:BD=4:7$ …②　のとき、二つの比を一つにまとめよ。

解法：①式では $AB$ の値は $3$ 、②式では $A$ の値は $4$ なので、最小公倍数の12になるように、①式に $4$ をかけ $AB:BC=12:20$ …①’、②式に $3$ をかけ $AB:BD=12:21$ …②’となる。また①’②’より、 $BC=20$ 、 $BD=21$ なので、 $CD=1$ になる。

中点座標の求め方

ポイント：点 $A(x$ , $y)$ と点 $A(p$ , $q)$ を結ぶ線分 $AB$ の中点 $M$ の座標は、 $(\frac{x+p}{2}$ , $\frac{y+q}{2})$ になる。

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【解答と解説】

(1)

$AB:BC=5:3$ …①、 $AB:BD=1:2$ 　 $\times5$ 　 $=AB:BD=5:10$ 　…②’より、 $AB:BC:CD=5:3:7$ になる。ゆえに、 $AD:BD:CD=15:10:7$ である。

点 $A$ から降ろした垂線が $x$ 軸と交わる点を $E$ 、点 $C$ から降ろした垂線が $x$ 軸と交わる点を $F$ とし、また点 $B$ から降ろした垂線が $x$ 軸と交わる点は $O$ であり、点 $D$ は $x$ 軸上にある点であるので、△ $ADF$ 、△ $BDF$ 、△ $CDF$ はそれぞれ相似の直角三角形である。