入試問題に挑戦! 平成17年 宮城県 (超難)

図形問題特有の「発想勝負」の問題です。
知識も少し必要になりますね。難問ですので頑張りましょう!
平成17年度 宮城県立高校入試 数学
クリップボード02 図のように、長さが 8cm の線分 AB があり、その中点を M とする。線分 AB 上にない点 P を PM=2cm になるようにとり、3 点 A、B、P を通る円を O とし、直線 PM と円 O との交点のうち P 以外の点を C とする。∠PMA=60°のとき、斜線部分の面積を求めなさい。ただし、円周率はπとし、弧 AP、弧BCはともに小さい方の弧とする。
解説解答はコチラ
問6 (空間図形)
M は線分 AB の中点なので、AM=4cm となり、PM=2cm なので、AM:PM=1:2 となる。
ここで、AM:PM=1:2 かつ ∠PMA=60° であれば、△APM は直角三角形になる。(線分比1:2:√3の三角形 ⇔ 角度30°,60°,90°の三角形) ゆえに、∠PMA=60°、∠PAM=30°、∠APM=90° である。また、PM=2cm AM=4cm AP=2√3cm である。
同様に、△BCM は直角三角形になり、BM=4cm CM=8cm BC=4√3cm である。
次に円周上の点 PB に注目する。∠PAM=30° なので、円周角∠PAB=30° であり、中心角∠POB=60° となる。(中心角は円周角の2倍になる)
また、円周上の点 AC に注目すると、円周角∠ABC=90° なので、線分 AC は円の中心 O を通る直径となる。三平方の定理より線分 AC を求めると、線分 AC = √112 = 4√7cm になるので、円の半径は 2√7cm である。
弧 AP と線分 AP で囲まれる扇型の面積を S 、弧 BC と線分 BC で囲まれる扇型の面積を T とすると、求めるべき斜線部分の面積は、S + T + △APM + △BCM である。
△APM の面積は、2√3c㎡、△APM の面積は、8√3c㎡ である。
次に S + T の面積を求める。S + T の面積は、半円 AOC の面積から、△AOPの面積・扇型POBの面積・△BOCの面積を引けばよい。
半円 AOC の面積は、半径 2√7cm なので、14πc㎡ となる。
△AOP は、線分AO = 線分PO = 半径2√7cm で、かつ底辺が2√3cm の二等辺三角形なので、面積は 5√3c㎡ になる。
<△BOC は、線分BO = 線分CO = 半径2√7cm で、かつ底辺が4√3cm の二等辺三角形なので、面積は 8√3c㎡ になる。/div>

扇型POBの面積は、中心角∠POB=60° なので、14/3π c㎡ となる。
そこで、S + T の面積 = 14π – 5√3 – 14/3 × π – 8√3 = 28/3 × π – 13√3c㎡となる。
次に、△APM の面積は、2√3c㎡ となる。
△BCM の面積は、8√3c㎡ となる。
以上より、求めるべき斜線部分の面積は、S + T + △APM + △BCM なので、28/3 × π – 13√3 + 2√3 + 8√3 = 28/3 × π – 3√3 c㎡ となる。
正解 28/3 × π – 3√3 c㎡