高校入試への数学(2)　一次関数②　交点と面積

時習館の森山の
高校入試への数学
～第２講　一次関数②　交点と面積～
【問題】 （難易度★☆☆☆☆）
下の図で、直線 l は関数 y=\frac{1}{3}x+5 のグラフ、直線 m は関数 y=2x のグラフ、直線 n は関数 y=-\frac{4}{3}x のグラフ、ある。直線 l と直線 m は点 A で、直線 l と直線 nは点 Bでそれぞれ交わっている。ただし、原点 O から点 (1, 0) までの距離、及び原点 O から点 (0, 1) までの距離をそれぞれ 1cm とする。
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(1)　点 A の座標を求めなさい。
(2)　△OAB の面積を求めなさい
(3)　△OAB を、原点 O を回転の中心として時計の針の回転と反対の向きに、辺　OB が初めて y 軸に重なるまで回転移動した。点 A が移った点を A' とするとき、点 A' の座標を求めなさい。
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Clipboard01【ズバリPoint！】
　→　直線 y=ax+b ・・・①と　直線 y=px+q ・・・②　の交点 A を求めるときは、 ①と②を連立方程式にし求める。
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【解答と解説】
(1)
点 A は、直線 l と直線 m の交点になるので、
直線 l : y=\frac{1}{3}x+5 …①
直線 m : y=2x …②
①と②を連立方程式で解くと、x=3、y=6となる。
　答　点 A　(3, 6)
(2)
まず点 B の座標を考える。
点 B は、直線 l と n は関数 y=-\frac{4}{3}x の交点になるので、
直線 l : y=\frac{1}{3}x+5 …①
直線 n : y=-\frac{4}{3}x …②
①と②を連立方程式で解くと、x=-3、y=-4となる。
点 B　(-3, -4)
次に、左図のように、「正方形－まわりの３つの三角形」で考える。
△OAB=6\times6 -\frac{1}{2}\times3\times4 -\frac{1}{2}\times3\times6 -\frac{1}{2}\times2\times6
　　　=36-21=15
　答　15(cm^2)
(3)
△OAB 回転すると、左図のようになる。
ここで、AH=A'H'=a、OH=O'H'=b とすると、
OB=5 なので、(2)より、a=6 となり、
OA=3\sqrt{5} なので、b=3 となる。
図より、A' の座標は (-a, -b) になる。
　答　点 A'　(-6, -3)