二重根号　1/{√(8-√60)}+1/{√(10-√84)}　(関東学院大)

二重根号のはずし方は

\sqrt{X\pm \sqrt{Y}}=\sqrt{(a+b)\pm 2\sqrt{ab}}

という形に式変形させます。すると

\sqrt{(a+b)\pm 2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm \sqrt{b}　　(a>b)

となります。

\frac{1}{\sqrt{8-\sqrt{60}}}+\frac{1}{\sqrt{10-\sqrt{84}}}
=\frac{1}{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}+\frac{1}{\sqrt{10-2\sqrt{21}}}
=\frac{1}{\sqrt{(5+3)-2\sqrt{5\times3}}}+\frac{1}{\sqrt{(7+3)-2\sqrt{7\times3}}}
=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}
ここで分母を有理化します。
与式=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}
=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}^2-\sqrt{3}^2}+\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}^2-\sqrt{3}^2}
=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{4}
=\frac{2\sqrt{5}+3\sqrt{3}+\sqrt{7}}{4}

 

 

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