入試問題に挑戦！解答と解説のページ（１０）

◆開成高校　数学　難問　解答と解説

（１）点Ｂの座標を $(b,b^2)$ とすると、傾きの公式より $k=\frac{4-b^2}{2-b}$ となる。因数分解すると、 $k=\frac{4-b^2}{2-b}=\frac{(2-b)(2+b)}{2-b}=2+b$ となる。よって、 $b=k-2$ となるので、点Ｂの座標は $(k-2,k^2-4k+2)$ となる。

（２）（１）の点Ｂの座標と点Ａの座標が一致すればよいので、 $k-2=2$ より $k=4$ となる。点Ａ $(2,4)$ を通り、傾き $k=4$ なので、 $4=4 \times2+b$ に代入して $b=-4$ 。ゆえに求める式は $y= 4x -4$ となる。

（３）

線 $l$ が $y= -4x -4$ なので、点Ｃの座標が $(1,0)$ とわかる。ここで点Ｅの座標を $(e,0)$ とおくと、三平方の定理より $AE=\sqrt{(2-e)^2+4^2}=\sqrt{e^2-4e+20}$ となる。
一方で、図より $AE:AD=CE:DC$ が成り立つので
$\sqrt{e^2-4e+20}:4=(1-e):(2-1)$
$e^2-4e+20:4^2=(1-e)^2:1^2$
$e^2-4e+20=16\times(1-e)^2$
$15e^2-28e-4=0$
$(15e+2)(e-2)=0$
$e=-\frac{2}{15},2$
図より $e=-\frac{2}{15}$
直線ＡＥは $y=ax+b$ に点Ａ $(2,4)$ 点Ｅ $(-\frac{2}{15},0)$ を代入して、 $a=\frac{8}{15}, b=\frac{1}{4}$ となるので、点Ｆは $(0,\frac{1}{4})$