入試問題に挑戦！解答と解説のページ（９）

◆ラサール高校　数学　難問　解答と解説

（１）
自力でも解けるが、素因数分解を利用して素数の和を調べる方法を知っていれば時間を短縮できる。
$200$ を素因数分解すると、 $200=2^3\times5^2$
よって、 $200$ の約数の和は、
$S=(2^0+2^1+2^2+2^3)\times(5^0+5^1+5^2)=(1+2+4+8)\times(1+5+25)=15\times31$ これを素因数分解するので、 $S=3\times5\times31$

（２）
$T=\bigl\{(2^0)^2+(2^1)^2+(2^2)^2+(2^3)^2\bigr\}\times\bigl\{(5^0)^2+(5^1)^2+(5^2)^2\bigr\}$ $=(1^2+2^2+2^4+2^6)\times(1^2+5^1+5^4)=(1+4+16+64)\times(1+25+625)$

$=85 \times 651 = 5 \times 17 \times 3 \times 7 \times 31 = 3 \times 5 \times 7 \times 17 \times 31$ $=(1+4+16+64) \times (1+25+625) = 85 \times 651 = 3 \times 5 \times 7 \times 17 \times 31$

（３）
$U=1/1+1/2+1/4+,,,+1/100+1/200$