入試問題に挑戦！解答と解説のページ（３）

◆平成25年度長崎県　数学　超難問(正答率1.7%)　解答と解説

正の偶数を 2n とする。
２つの続いた正の偶数は 2n , 2n+2 と表すことができる。
「ある２つの続いた正の偶数の平方の和から２を引いた数」は $2n^2+(2n+2)^2-2$ となる。

$2n^2+(2n+2)^2-2$

$= 4n^2+4n^2+8n+4-2$

$= 8n^2+8n+2$

$= 2(4n^2+4n+1)$

$= 2(2n+1)^2$

この $2(2n+1)^2$ が3ケタの 7 の倍数になるので、

$100 \leq 2(2n+1)^2 < 1000$

$50 \leq (2n+1)^2 < 500$ ・・・①

ここで $(2n+1)^2$ は 7 の倍数、かつ、奇数である・・・②

①と②の両方を満たすのは、 $(2n+1)^2 = 21^2$ 　である。

ゆえに、 $(2n+1) = 21$ 　なので　 $n = 10$

そこで、２つの続いた正の偶数は 2n , 2n+2 は、それぞれ 20 , 22 となる。

答え．20 , 22